КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, УПРАВЛЕНИЕ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКА
Войти на сайт | Регистрация
УДК 519.6
О предельных решениях разностных уравнений, содержащих оператор Лапласа
Куропатенко Валентин Федорович, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры вычислительной механики сплошных сред, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); главный научный сотрудник, РФЯЦ-ВНИИТФ (г. Снежинск), v.f.kuropatenko@rambler.ru
Байдин Григорий Васильевич, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, РФЯЦ-ВНИИТФ (г. Снежинск), g.v.baidin@vniitf.ru
Лупанов Илья Викторович, научный сотрудник, РФЯЦ-ВНИИТФ (г. Снежинск), bkmz_2010@mail.ru
Аннотация
Бурное развитие вычислительной техники облегчило применение математического моделирования во многих областях человеческой деятельности. В настоящее время математическим моделированием занимается огромное количество специалистов, использующих уже известные и хорошо обоснованные численные методы. При обосновании ряда методов были доказаны теоремы эквивалентности [1–4] о связи сходимости численного решения к точному с аппроксимацией и устойчивостью, а также теорема [5] об условиях монотонности численного решения. Следует, однако, помнить, что все эти теоремы были доказаны для линейных или линеаризованных уравнений на равномерных сетках. В случае же нелинейных уравнений и при применении неоднородных (адаптивных) сеток погрешность аппроксимации может оказаться несходящейся и предельное решение при сколь угодно большом увеличении числа точек сетки N может отличаться от точного решения. На возникновение несходящейся аппроксимации уравнения теплопроводности разностным уравнением на неравномерной сетке было обращено внимание в [1, 2]. В механике жидкости и газа нарушение равномерности сетки приводит к образованию «энтропийных» следов [6, 7]. В работе рассматривается проблема различия точного решения и предельного при N → ∞ решения нелинейного уравнения теплопроводности и уравнения электростатики в случае, когда соседние ячейки сетки сильно различаются.
Ключевые слова
уравнение Лапласа, адаптивно-встраиваемая сетка, аппроксимация, сходимость
Литература
1. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 615 с.

2. Вычисления на квазиравномерных сетках / Н.Н. Калиткин, А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов. – М.: Физматлит, 2005.

3. Lax, P. Hyperbolic systems of conservations laws / P. Lax // Communs Pure and Appl. Math. – 1957. – No. 10. – Р. 537–566.

4. Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортон. – М.: Мир, 1972.

5. Годунов, С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики / С.К. Годунов // Мат. сб. – 1959. – № 47 (89). – С. 271–306.

6. Куропатенко, В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики / В.Ф. Куропатенко // Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. – М., 1966. – Т. 74. – С. 107–137.

7. Яненко, Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их применение в газовой динамике / Н.Н. Яненко, Б.Л. Рождественский. – М.: Наука, 1978. – 687 с.

8. Куропатенко, В.Ф. Локальная консервативность разностных схем для уравнений газовой динамики / В.Ф. Куропатенко // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1985. – Т. 25, № 8. – С. 1176–1188.

9. Самарский, А.А. Разностные схемы газовой динамики / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. – М.: Наука, 1980. – 352 с.

10. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л.А. Вайнштейн. – М.: Радио и связь, 1988.
Источник
Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2013. - Том 13, №3. – C. 71-76.