КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, УПРАВЛЕНИЕ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКА
Войти на сайт | Регистрация
УДК 519.624.3
Математическое моделирование нахождения значений собственных функций задачи гидродинамической теории устойчивости Орра – Зоммерфельда методом регуляризованных следов
Какушкин Сергей Николаевич, аспирант кафедры прикладной математики и вычислительной техники, Магнитогорский государственный университет (г. Магнитогорск), kakushkin-sergei@mail.ru
Кадченко Сергей Иванович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и вычислительной техники, Магнитогорский государственный университет (г. Магнитогорск), kadchenko@masu.ru
Аннотация
Рассматривается математическая модель вычисления значений собственных функций оператора Орра – Зоммерфельда. Используя метод регуляризованных следов, получены простые формулы, позволяющие находить значения первых собственных функций возмущенных самосопряженных операторов. Разработанные алгоритмы позволяют, вычислять значения собственной функции возмущенного оператора независимо от того, известны предыдущие значения собственной функции или нет. Получены оценки остатков сумм функциональных рядов «взвешенных» поправок теории возмущений дискретных операторов, и доказана их сходимость. Для вычислительной реализации метода, найдены эффективные алгоритмы нахождения «взвешенных» поправок теории возмущений, используя которые можно приближать суммы функциональных рядов Рэлея – Шредингера нужным количеством членов. Проведенные численные эксперименты вычисления значений собственных функций задачи гидродинамической теории устойчивости показывают, что метод хорошо согласуется с другими известными методами (А.Н. Крылова и А.М. Данилевского). Метод регуляризованных следов показал свою надежность и высокую эффективность.
Ключевые слова
задача Орра – Зоммерфельда, собственные числа, собственные функции, теория возмущений, метод регуляризованных следов
Литература
1. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, № 12. – С. 2169.

2. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия высших учебных заведений. Математика. – 1990. – № 12. – С. 65.

3. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2003. – № 8. – С. 46–52.

4. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. – М.: МГУ, 1994. – Вып. 17. – С. 244–248.

5. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2011. – Вып. 8, № 17 (234). – С. 46–51.

6. Кадченко, С.И. Численные методы нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2012. – Вып. 13, № 27 (286). – С. 45–57.

7. Кадченко, С.И. Вычисление значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2012. – № 6 (97). – C. 13–21.

8. Линь, Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости / Ц.Ц. Линь. – М.: ИЛ, 1958. – 195 с.

9. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. – М.: Наука, 1973. – 840 с.

10. Розе, Н. Г. Теоретическая гидромеханика / Н.Г. Розе, И.А. Кибель, Н.Е. Кочин. – М.: ТТЛ, 1937. – 584 с.

11. Кадченко, С.И. Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов: дис. … д-ра физ.-мат. наук / С.И. Кадченко. – М., 2003.
Источник
Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2013. - Том 13, №3. – C. 30-36.